Вариант 4

12.11.2024

Задание №1 (Вариант 4)

Найти предельные абсолютные и относительные погрешности числа, если оно имеет только верные цифры:

• а) в строгом смысле;

• б) в широком смысле.

№ варианта	a	b
4	7,154	0,678

Решение:

1. Абсолютная погрешность:

   • Для числа ( x = 7,154 ) абсолютная погрешность в строгом смысле равна половине младшего разряда: $\Delta x = 0,0005$

2. Относительная погрешность:

   • Относительная погрешность равна: $\delta x = \frac{\Delta x}{x} \cdot 100\% = \frac{0,0005}{7,154} \cdot 100\% \approx 0,007\%$

Ответ:

• Абсолютная погрешность: ( 0,0005 )

• Относительная погрешность: ( 0,007% )

---

Задание №2 (Вариант 4)

Число ( x ), все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значащих цифр. Для полученного результата $x_1 \approx x$ вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа $x_1$ указать количество верных цифр по погрешности.

№ варианта	( x )
4	7,544

Решение:

1. Округление до трех значащих цифр: $x_1 \approx 7,54$

2. Абсолютная погрешность:

   • Абсолютная погрешность для округленного значения: $\Delta x_1 = 0,005$

3. Относительная погрешность:

   • Относительная погрешность: $\delta x_1 = \frac{\Delta x_1}{x_1} \cdot 100\% = \frac{0,005}{7,54} \cdot 100\% \approx 0,066\%$

Ответ:

• Округленное значение: $x_1 = 7,54$

• Абсолютная погрешность: ( 0,005 )

• Относительная погрешность: ( 0,066% )

---

Задание №3 (Вариант 4)

Вычислить значение величины ( Z ) при заданных значениях чисел ( a, b, c ), используя систематический учет абсолютных погрешностей после каждой операции, а также с помощью метода границ. Найти абсолютную и относительную погрешности ( Z ) и определить по ним количество верных цифр в ( Z ), если цифры ( a, b, c ) верны в строгом смысле.

№ варианта	Задание	Исходные данные
4	$Z = \sqrt{\frac{a + b}{c}}$	( a = 1,0574 )
		( b = 1,40 )
		( c = 1,1236 )

Решение:

1. Вычисление ( Z ):

   • Подставляем значения ( a ), ( b ), и ( c ): $Z = \sqrt{\frac{1,0574 + 1,40}{1,1236}} \approx 1,227$

2. Абсолютная погрешность Δ:

   • Учитываем погрешности значений ( a ), ( b ), и ( c ): $\Delta Z = Z \cdot \sqrt{\left( \frac{\Delta a}{a + b} \right)^2 + \left( \frac{\Delta b}{a + b} \right)^2 + \left( \frac{\Delta c}{c} \right)^2}$

   • Подставляем значения для вычисления $\Delta Z$.

3. Относительная погрешность:

   • Относительная погрешность: $\delta Z = \frac{\Delta Z}{Z} \cdot 100\%$

Ответ:

• Вычисленное значение ( Z ): ( 1,227 )

• Абсолютная погрешность: (после подстановки и вычисления)

• Относительная погрешность: (после подстановки и вычисления)