Интерполяция кубическими сплайнами

04.12.2024

Основные формулы

Общая форма кубического сплайна

Для каждого отрезка $[x_{i-1}, x_i]$, интерполяционный сплайн $s(x)$ представляется в виде:

$$s_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + \frac{c_i}{2}(x - x_i)^2 + \frac{d_i}{6}(x - x_i)^3,$$

где $i = 1, 2, \dots, n$

Обозначения:

• $a_i, b_i, c_i, d_i$ — коэффициенты сплайна.

• $x_i$ — узлы интерполяции (заданные точки).

---

Производные сплайна

1. Первая производная:

   $$s_i'(x) = b_i + c_i(x - x_i) + \frac{d_i}{2}(x - x_i)^2.$$
2. Вторая производная:

   $$s_i''(x) = c_i + d_i(x - x_i).$$
3. Третья производная:

   $$s_i'''(x) = d_i.$$

---

Граничные условия

Для определения коэффициентов $a_i, b_i, c_i, d_i$ вводятся следующие условия:

1. Интерполяция:

   $$s(x_i) = f(x_i), \quad i = 0, 1, \dots, n.$$
2. Непрерывность: значения и производные $s_i(x)$совпадают на стыках отрезков:

   $$s_i(x_i) = s_{i+1}(x_i), \quad s_i'(x_i) = s_{i+1}'(x_i), \quad s_i''(x_i) = s_{i+1}''(x_i).$$
3. Граничные условия (например, "натуральный сплайн"):

   $$s''(x_0) = 0, \quad s''(x_n) = 0.$$

---

Система уравнений для коэффициентов

Используя указанные условия, формируется система уравнений для коэффициентов $c_i$:

$$h_{i-1}c_{i-1} + 2(h_{i-1} + h_i)c_i + h_ic_{i+1} = 6\frac{y_{i+1} - y_i}{h_i} - 6\frac{y_i - y_{i-1}}{h_{i-1}},$$

где $h_i = x_i - x_{i-1}$

Решение системы даёт значения $c_i$, после чего находятся остальные коэффициенты:

$$d_i = \frac{c_{i+1} - c_i}{h_i}, \quad b_i = \frac{y_{i+1} - y_i}{h_i} - \frac{h_i}{6}(c_{i+1} + 2c_i).$$

---

Табличная форма

Данные для интерполяции записываются в виде таблицы:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} x_0 & x_1 & \dots & x_{n-1} & x_n \\ \hline f_0 & f_1 & \dots & f_{n-1} & f_n \end{array}.$$

На основе этой таблицы и формул строится сплайн.

---

Итог

Интерполяция кубическими сплайнами позволяет:

• Создать плавные кривые для заданных точек.

• Обеспечить гладкость до второй производной.

• Автоматически подбирать параметры для сложных задач моделирования.