💀
Второй курс РПО
Численные методы
Численные методы
  • Погрешности вычислений
  • Вычисление абсолютной и относительной погрешностей
    • Вариант 2
    • Вариант 3
    • Вариант 4
  • Локализация корня уравнения
  • Метод хорд
  • Метод Ньютона
  • Метод деления отрезка пополам
  • Практическая № X
  • Приближённые методы
    • Задача: Вариант 3 #1
    • Задача: Вариант 3 #2
    • Задача: Вариант 3 #3
  • Метод гауса: С чем его едят?
  • Интерполяционный многочлен Лагранжа
    • Вариант 1
  • Интерполяция: Формулы Ньютона
  • Полигональное моделирование
    • Интерполяция кубическими сплайнами
  • Самостоятельная В3
  • Распределение Пуассона
  • Суть интерполяции Ньютона
    • Объяснение
  • Суть интерполяции сплайнами
  • Численное интегрирование
  • Метод Гауса
  • Метод Эйлера
Powered by GitBook
On this page
  • 1. Что такое метод Гаусса?
  • 2. Что у нас есть?

Метод гауса: С чем его едят?

26.11.2024

1. Что такое метод Гаусса?

Метод Гаусса — это способ решения системы уравнений. Мы будем превращать матрицу, которая представляет систему уравнений, в форму, где её легко решить. Всё сводится к тому, чтобы делать числа в матрице удобными для вычислений, а потом просто считать ответы.

2. Что у нас есть?

Предположим, есть система уравнений:

{2x+y+z=5,4x+3y+z=6,−2x+y+2z=−3.\begin{cases} 2x + y + z = 5, \\ 4x + 3y + z = 6, \\ -2x + y + 2z = -3. \end{cases}⎩⎨⎧​2x+y+z=5,4x+3y+z=6,−2x+y+2z=−3.​

Наша цель — найти xxxxxx, yyyyyy, zzzzzz. Для этого используем метод Гаусса.

3. Записываем это в виде матрицы

Мы можем записать эту систему как расширенную матрицу, которая включает в себя как коэффициенты перед переменными, так и свободные члены:

[211∣5431∣6−212∣−3].\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & | & 5 \\ 4 & 3 & 1 & | & 6 \\ -2 & 1 & 2 & | & -3 \end{bmatrix}.​24−2​131​112​∣∣∣​56−3​​.

  • 2, 1, 1 — это коэффициенты перед xxxxxx, yyyyyy и zzzzzz в первом уравнении.

  • 5 — это число, которое стоит после знака равно в первом уравнении (свободный член).

  • То же самое для остальных строк.

4. Прямой ход (делаем матрицу "ступенчатой")

Теперь будем превращать матрицу в такую форму, чтобы под главной диагональю (где стоят 2, 3 и 2) были нули. Это называется приведение матрицы к ступенчатому виду.

Шаг 1. Делаем первый столбец "чистым"

Мы начинаем с первой строки (там стоит 2), и делаем все числа под этим 2 равными нулям.

  • Первый столбец: в строке 1 уже стоит 2. Нам нужно сделать нули в строках 2 и 3 под этим 2.

Для этого нужно:

  • Из второй строки вычитаем первую строку, умноженную на 2.

  • Из третьей строки вычитаем первую строку, умноженную на -1.

Делаем вычисления:

  • Вторая строка: (вторая строка) - 2 * (первая строка)

4−2⋅2=0,3−2⋅1=1,1−2⋅1=−1,6−2⋅5=−4.4 - 2 \cdot 2 = 0, \quad 3 - 2 \cdot 1 = 1, \quad 1 - 2 \cdot 1 = -1, \quad 6 - 2 \cdot 5 = -4.4−2⋅2=0,3−2⋅1=1,1−2⋅1=−1,6−2⋅5=−4.

  • Третья строка: (третья строка) + (первая строка)

−2+2=0,1+1=2,2+1=3,−3+5=2.-2 + 2 = 0, \quad 1 + 1 = 2, \quad 2 + 1 = 3, \quad -3 + 5 = 2.−2+2=0,1+1=2,2+1=3,−3+5=2.

Теперь у нас вот такая матрица:

[211∣501−1∣−4023∣2].\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & | & 5 \\ 0 & 1 & -1 & | & -4 \\ 0 & 2 & 3 & | & 2 \end{bmatrix}.​200​112​1−13​∣∣∣​5−42​​.

Шаг 2. Чистим второй столбец

Теперь нужно сделать так, чтобы в третьей строке во втором столбце стоял ноль. Для этого вычитаем вторую строку, умноженную на 2, из третьей строки.

Вычисляем:

  • Третья строка: (третья строка) - 2 * (вторая строка)

0−2⋅0=0,2−2⋅1=0,3−2⋅(−1)=5,2−2⋅(−4)=10.0 - 2 \cdot 0 = 0, \quad 2 - 2 \cdot 1 = 0, \quad 3 - 2 \cdot (-1) = 5, \quad 2 - 2 \cdot (-4) = 10.0−2⋅0=0,2−2⋅1=0,3−2⋅(−1)=5,2−2⋅(−4)=10.

Теперь у нас такая матрица:

[211∣501−1∣−4005∣10].\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & | & 5 \\ 0 & 1 & -1 & | & -4 \\ 0 & 0 & 5 & | & 10 \end{bmatrix}.​200​110​1−15​∣∣∣​5−410​​.

5. Обратный ход (решаем уравнения)

Теперь у нас матрица в ступенчатом виде. Дальше идём снизу вверх и решаем уравнения.

Шаг 1. Решаем для zz

В третьей строке у нас есть:

5z=10.5z=105z=10.5z = 105z=10.5z=10.

Получаем:

z=105=2.z=105=2z=105=2.z = \frac{10}{5} = 2z=105=2.z=510​=2.

Шаг 2. Решаем для yy

Теперь подставляем z=2z = 2 во второе уравнение (вторую строку):

y−z=−4⇒y−2=−4⇒y=−4+2=−2.y−z=−4⇒y−2=−4⇒y=−4+2=−2.y−z=−4⇒y−2=−4⇒y=−4+2=−2.y - z = -4 \quad \Rightarrow \quad y - 2 = -4 \quad \Rightarrow \quad y = -4 + 2 = -2.y−z=−4⇒y−2=−4⇒y=−4+2=−2.y−z=−4⇒y−2=−4⇒y=−4+2=−2.

Шаг 3. Решаем для xx

Теперь подставляем y=−2y = -2 и z=2z = 2 в первое уравнение:

2x+y+z=5⇒2x−2+2=5⇒2x=5⇒x=52=2.5.2x + y + z = 5 \quad \Rightarrow \quad 2x - 2 + 2 = 5 \quad \Rightarrow \quad 2x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{2} = 2.5.2x+y+z=5⇒2x−2+2=5⇒2x=5⇒x=25​=2.5.

6. Ответ

Таким образом, решение системы:

x=2.5,y=−2,z=2.x = 2.5, \quad y = -2, \quad z = 2.x=2.5,y=−2,z=2.

Итог

Метод Гаусса — это процесс превращения матрицы системы в такую форму, где проще найти ответ. Мы постепенно обнуляем элементы под главной диагональю, а потом решаем уравнения сверху вниз. Всё, что нужно, — это простые арифметические операции.

PreviousЗадача: Вариант 3 #3NextИнтерполяционный многочлен Лагранжа

Last updated 6 months ago

Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Logo