Распределение Пуассона

10.12.2024

Распределение Пуассона: основы

Распределение Пуассона описывает вероятность $P(k; \lambda)$ получения $k$ событий за фиксированный интервал времени (или пространства), если события происходят с фиксированной средней частотой $\lambda$ и независимо друг от друга.

Формула вероятности:

$$P(k; \lambda) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},$$

где:

• $k$ — количество событий $( k = 0, 1, 2, \ldots )$;

• $\lambda$ — среднее число событий за интервал;

• $e$ — основание натурального логарифма $( \approx 2.718 )$.

Основные свойства

1. Среднее значение (матожидание):

   $$\mathbb{E}[X] = \lambda$$
2. Дисперсия:

   $$\text{Var}(X) = \lambda$$
3. Симметрия: Чем больше $\lambda$, тем ближе распределение Пуассона к нормальному распределению.

Численные методы работы с распределением Пуассона

1. Генерация случайных значений

Случайные значения из распределения Пуассона можно сгенерировать через алгоритм инверсии (метод на основе суммы экспоненциальных распределений):

• Пусть $u$ — случайное число из равномерного распределения на интервале $[0, 1)$;

• Накопленная вероятность $S$ сначала равна $0$, а $k = 0$;

• Пока $S \leq u$:

  $$P(k; \lambda) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad S = S + P(k; \lambda),$$

  увеличить $k$ на 1.

2. Аппроксимация нормальным распределением

Для больших $\lambda$ (обычно $\lambda > 10 )$ можно использовать нормальное распределение:

$$X \sim \mathcal{N}(\lambda, \sqrt{\lambda}),$$

где $\mathcal{N}(\mu, \sigma)$ — нормальное распределение с матожиданием $\mu$ и стандартным отклонением $\sigma$.

3. Численное суммирование для оценки кумулятивной функции

Кумулятивная функция распределения Пуассона:

$$F(k; \lambda) = \sum_{i=0}^k P(i; \lambda).$$

Для вычисления $F(k; \lambda)$ можно использовать рекуррентное соотношение:

$$P(i+1; \lambda) = P(i; \lambda) \cdot \frac{\lambda}{i+1}.$$

4. Решение обратных задач

Если известна вероятность $P(k; \lambda)$ или функция распределения $F(k; \lambda)$, можно найти $\lambda$ через численное решение уравнения:

$$\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = P(k; \lambda).$$

Пример вычислений

Пример 1. Вычисление вероятности $P(k = 3; \lambda = 4)$:

$$P(3; 4) = \frac{4^3 e^{-4}}{3!} = \frac{64 \cdot e^{-4}}{6}.$$

Пример 2. Кумулятивная вероятность $F(3; 4)$:

$$F(3; 4) = P(0; 4) + P(1; 4) + P(2; 4) + P(3; 4).$$

Пример 3. Аппроксимация для $\lambda = 20$:

$$P(25; 20) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot 20}} e^{-\frac{(25-20)^2}{2 \cdot 20}}.$$