Самостоятельная В3

04.12.2024

---

Формула Лагранжа

Интерполяционная формула Лагранжа для функции $f(x)$ на узлах $x_0, x_1, \dots, x_n$выглядит следующим образом:

$$P_n(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_i) \cdot L_i(x)$$

где $L_i(x)$ — это базисные многочлены Лагранжа, которые вычисляются по формуле:

$$L_i(x) = \prod_{\substack{0 \leq j \leq n \\ j \neq i}} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$

В данной задаче у нас $n = 2$, то есть интерполяция на 3 узлах $0$, $\frac{\pi}{4}$, $frac{\pi}{2}$.

Этап 1: Вычисление базисных многочленов Лагранжа

Для каждого узла $x_i$ вычислим $L_i(x)$.

Для $L_0(x)$:

$$L_0(x) = \frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)}$$

Подставляем значения $x_0 = 0$, $x_1 = \frac{\pi}{4}$, $x_2 = \frac{\pi}{2}$:

$$L_0(x) = \frac{(x - \frac{\pi}{4})(x - \frac{\pi}{2})}{(0 - \frac{\pi}{4})(0 - \frac{\pi}{2})}$$

Упростим:

$$L_0(x) = \frac{(x - \frac{\pi}{4})(x - \frac{\pi}{2})}{\left(-\frac{\pi}{4}\right) \left(-\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{(x - \frac{\pi}{4})(x - \frac{\pi}{2})}{\frac{\pi^2}{8}}$$

Для $L_1(x)$:

$$L_1(x) = \frac{(x - x_0)(x - x_2)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)}$$

Подставляем значения:

$$L_1(x) = \frac{(x - 0)(x - \frac{\pi}{2})}{(\frac{\pi}{4} - 0)(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2})}$$

Упростим:

$$L_1(x) = \frac{x(x - \frac{\pi}{2})}{\frac{\pi}{4} \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{x(x - \frac{\pi}{2})}{-\frac{\pi^2}{16}}$$

Для $L_2(x)$:

$$L_2(x) = \frac{(x - x_0)(x - x_1)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)}$$

Подставляем значения:

$$L_2(x) = \frac{(x - 0)(x - \frac{\pi}{4})}{(\frac{\pi}{2} - 0)(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})}$$

Упростим:

$$L_2(x) = \frac{x(x - \frac{\pi}{4})}{\frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{4}} = \frac{x(x - \frac{\pi}{4})}{\frac{\pi^2}{8}}$$

Этап 2: Построение интерполяционной полинома

Теперь, используя значения $f(x_0) = \sin(0) = 0$, $f(x_1) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $f(x_2) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, мы можем записать интерполяционную формулу Лагранжа:

$$P_2(x) = f(x_0) \cdot L_0(x) + f(x_1) \cdot L_1(x) + f(x_2) \cdot L_2(x)$$

Подставляем все значения:

$$P_2(x) = 0 \cdot L_0(x) + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot L_1(x) + 1 \cdot L_2(x)$$

Таким образом, формула для интерполяционного полинома:

$$P_2(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{x(x - \frac{\pi}{2})}{-\frac{\pi^2}{16}} + \frac{x(x - \frac{\pi}{4})}{\frac{\pi^2}{8}}$$

Этап 3: Упрощение

Теперь можно упростить полином:

$$P_2(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{16x(x - \frac{\pi}{2})}{-\pi^2} + \frac{8x(x - \frac{\pi}{4})}{\pi^2}$$

$$P_2(x) = \frac{-8\sqrt{2}x(x - \frac{\pi}{2})}{\pi^2} + \frac{8x(x - \frac{\pi}{4})}{\pi^2}$$

Это и есть искомая интерполяционная формула Лагранжа для функции $f(x) = \sin(x)$ на узлах $x_0 = 0$, $x_1 = \frac{\pi}{4}$, $x_2 = \frac{\pi}{2}$.