Задача: Вариант 3 #3

26.11.2024

Решение системы методом Гаусса: Вычисление определителя

Начало: Дана система:

$$\begin{aligned} 1. & \quad x + 2y - z = 2, \\ 2. & \quad 2x - y + z = 3, \\ 3. & \quad 3x + y - 2z = 1. \end{aligned}$$

Составим матрицу коэффициентов:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \end{bmatrix}.$$

Для вычисления определителя $\det(A)$, используем преобразования Гаусса. Определитель изменяется следующим образом:

• При умножении строки на число $k$, определитель умножается на $k$.

• При вычитании строки из другой строки (или прибавлении), определитель не изменяется.

---

Этапы вычисления определителя:

1. Начальная матрица:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \end{bmatrix}.$$

1. Приводим матрицу к верхнетреугольному виду.

   • Из второй строки вычитаем первую, умноженную на $2$ $(R_2 = R_2 - 2R_1)$:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -5 & 3 \\ 3 & 1 & -2 \end{bmatrix}.$$

• Делим вторую строку на ( -5 ) для упрощения последующих вычислений ($R_2 = R_2 / -5$):

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{5} \\ 0 & -5 & 1 \end{bmatrix}.$$

• Из третьей строки вычитаем вторую, умноженную на ( -5 ) $( R_3 = R_3 + 5R_2 )$:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{5} \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}.$$

1. Определитель (верхнетреугольная матрица):

Чтобы найти определитель, перемножаем диагональные элементы верхнетреугольной матрицы:

$$\det(A) = 1 \cdot 1 \cdot (-2) = -2.$$

Ответ:

$$\det(A) = -2.$$