Объяснение

Основная формула интерполяции Ньютона

$$P_n(x) = y_0 + \sum_{k=1}^n \Delta^k y_0 \cdot \prod_{i=0}^{k-1} (x - x_i),$$

где:

• $P_n(x)$— интерполяционный многочлен степени $n$;

• $y_0$ — значение функции в первом узле $( x_0 )$;

• $\Delta^k y_0$ — $k$-я разделённая разность, вычисленная для узлов $x_0, \ldots, x_k$;

• $\prod_{i=0}^{k-1} (x - x_i)$ — произведение линейных множителей для $k$-го члена.

---

Формула разделённых разностей

1. Нулевая разность (значение функции)

   \Delta^0 y[x_i] = y_i. $
2. Первая разделённая разность

   $$\Delta^1 y[x_i, x_{i+1}] = \frac{y_{i+1} - y_i}{x_{i+1} - x_i}.$$
3. Общая формула ( k )-й разделённой разности

   $$\Delta^k y[x_i, x_{i+1}, \ldots, x_{i+k}] = \frac{\Delta^{k-1} y[x_{i+1}, \ldots, x_{i+k}] - \Delta^{k-1} y[x_i, \ldots, x_{i+k-1}]}{x_{i+k} - x_i}.$$

---

Произведение линейных множителей

Для каждого члена интерполяционного многочлена:

$$\prod_{i=0}^{k-1} (x - x_i) = (x - x_0)(x - x_1)\ldots(x - x_{k-1}),$$

где $k$ — текущий порядок разности.

---

Итоговая структура

1. Общий вид многочлена:

   $$P_n(x) = y_0 + \Delta^1 y[x_0, x_1] \cdot (x - x_0) + \Delta^2 y[x_0, x_1, x_2] \cdot (x - x_0)(x - x_1) + \ldots$$

   $$+ \Delta^n y[x_0, x_1, \ldots, x_n] \cdot (x - x_0)(x - x_1)\ldots(x - x_{n-1}).$$
2. Каждый член состоит из:

   • Коэффициента $Delta^k y[x_0, \ldots, x_k]$;

   • Произведения линейных множителей $\prod_{i=0}^{k-1} (x - x_i)$.