Практическая № X

19.11.2024

Решение через метод половинного деления

Уравнение: $\sin(x) - 0.5 = 0$ Интервал: $[0, 1]$.

Алгоритм:

1. Метод половинного деления применяется для поиска корня $f(x) = 0$ на интервале $[a, b]$, где $f(a) \cdot f(b) < 0$.

2. На каждой итерации вычисляем среднюю точку $c = \frac{a + b}{2}$.

3. Проверяем знак функции:

   • Если $f(a) \cdot f(c) < 0$, то корень лежит в интервале $[a, c]$.

   • Если $f(c) \cdot f(b) < 0$, то корень лежит в интервале $[c, b]$.

4. Повторяем процесс, пока длина интервала $|b - a|$ не станет меньше заданной точности $\varepsilon$.

Формулы:

• Средняя точка: $c = \frac{a + b}{2}$

• Проверка интервала: $f(a) \cdot f(c) < 0 \quad \text{или} \quad f(c) \cdot f(b) < 0$

Решение:

1. Заданные параметры: $f(x) = \sin(x) - 0.5, \quad a = 0, \quad b = 1, \quad \varepsilon = 0.001$

2. Итерации:

Итерация	a	b	c	f(c)	Новый интервал
$1$	$0$	$1$	$0.5$	$-0.0206$	$[0.5, 1]$
$2$	$0.5$	$1$	$0.75$	$0.1816$	$[0.5, 0.75]$
$3$	$0.5$	$0.75$	0.625	$0.0761$	$[0.5, 0.625]$
$4$	$0.5$	$0.625$	$0.5625$	$0.0276$	$[0.5, 0.5625]$
$5$	$0.5$	$0.5625$	$0.53125$	$0.0025$	$[0.5, 0.53125]$

1. На 5-й итерации: $|b - a| = 0.03125 < \varepsilon$ Корень: $x \approx 0.53125$.

Ответ:

Корень уравнения на интервале $[0, 1]$: $x \approx 0.531$

Решение через метод итераций

Уравнение: $\cos(x) - x = 0$ Или: $x = \cos(x)$

Алгоритм метода итераций

1. Преобразуем уравнение в вид $x = g(x)$), где $g(x) = \cos(x)$.

2. Задаем начальное приближение $x_0$.

3. Вычисляем следующую итерацию: $x_{n+1} = g(x_n) = \cos(x_n)$

4. Проверяем условие сходимости: $|x_{n+1} - x_n| < \varepsilon$ Если условие выполнено, процесс завершается.

Решение

1. Функция и начальное приближение: $g(x) = \cos(x), \quad x_0 = 0.5, \quad \varepsilon = 0.001$

2. Итерации:

Итерация	xₙ	xₙ₊₁ = cos(xₙ)	| xₙ₊₁ - xₙ |
1	0.5000	0.8776	0.3776
2	0.8776	0.6390	0.2386
3	0.6390	0.8027	0.1637
4	0.8027	0.6948	0.1079
5	0.6948	0.7682	0.0734
6	0.7682	0.7192	0.0490
7	0.7192	0.7524	0.0332
8	0.7524	0.7314	0.0210
9	0.7314	0.7442	0.0128
10	0.7442	0.7356	0.0086
11	0.7356	0.7413	0.0057
12	0.7413	0.7375	0.0038
13	0.7375	0.7401	0.0026
14	0.7401	0.7386	0.0015
15	0.7386	0.7396	0.0010

1. На 15-й итерации: $|x_{n+1} - x_n| = 0.0010 < \varepsilon$

Ответ:

Корень уравнения: $x \approx 0.739$