Вариант 3

12.11.2024

Задание №1 (Вариант 3)

Найти предельные абсолютные и относительные погрешности числа, если оно имеет только верные цифры:

• a) в строгом смысле;

• б) в широком смысле.

№ варианта	a	b
3	0,374	4,348

Решение:

1. Абсолютная погрешность:

   • Абсолютная погрешность для числа $x = 0,374$ в строгом смысле: если значение ( x ) содержит только три значащие цифры, то абсолютная погрешность будет равна половине младшего разряда:

     $$\Delta x = 0,0005$$
   • В широком смысле значение может изменяться в пределах указанной точности, поэтому абсолютная погрешность в широком смысле будет также:

     $$\Delta x = 0,0005$$
2. Относительная погрешность:

   • Относительная погрешность для строгого смысла:

     $$\delta x = \frac{\Delta x}{x} = \frac{0,0005}{0,374} \approx 0,00134 \approx 0,134\%$$
   • Для широкого смысла относительная погрешность аналогична.

Ответ:

• Абсолютная погрешность: $\Delta x = 0,0005$.

• Относительная погрешность: $\delta x \approx 0,134$.

---

Задание №2 (Вариант 3)

Число ( x ), все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значащих цифр. Для полученного результата $x_1 \approx x$ вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа $x_1$ указать количество верных цифр по погрешности.

№ варианта	( x )
3	0,0002568

Решение:

1. Округление до трех значащих цифр:

   • Округляем ( x ) до трех значащих цифр:

     $$x_1 \approx 0,000257$$
2. Абсолютная погрешность:

   • Абсолютная погрешность $\Delta x$ после округления составит половину младшего разряда:

     $$\Delta x = 0,0000005$$
3. Относительная погрешность:

   • Относительная погрешность:

     $$\delta x = \frac{\Delta x}{x_1} = \frac{0,0000005}{0,000257} \approx 0,00195 \approx 0,195\%$$
4. Количество верных цифр:

   • Учитывая погрешность, в $x_1 = 0,000257$ можно считать верными три значащие цифры.

Ответ:

• ( x_1 = 0,000257 )

• Абсолютная погрешность: $\Delta x = 0,0000005$

• Относительная погрешность: $\delta x \approx 0,195$

• Количество верных цифр: 3

---

Задание №3 (Вариант 3)

Вычислить значение величины ( Z ) при заданных значениях чисел ( a, b, c ), используя систематический учет абсолютных погрешностей после каждой операции, а также с помощью метода границ. Найти абсолютную и относительную погрешности ( Z ) и определить по ним количество верных цифр в ( Z ), если цифры ( a, b, c ) верны в строгом смысле.

№ варианта	Задание	Исходные данные
3	$Z = \sin(a + b)$	$a = 0,387$
		$b = 0,78$

Решение:

1. Вычисление ( Z ):

   • Подставляем значения ( a ) и ( b ) в формулу:

     $$Z = \sin(a + b) = \sin(0,387 + 0,78) = \sin(1,167)$$
   • Рассчитываем значение:

     $$Z \approx 0,919$$
2. Абсолютная погрешность:

   • Абсолютная погрешность для тригонометрической функции ( \sin ) может быть вычислена с учетом погрешностей ( a ) и ( b ):

     $$\Delta Z = \left| \cos(1,167) \right| \cdot (\Delta a + \Delta b)$$
   • Принимаем, что $\Delta a \approx 0,0005 ) и ( \Delta b \approx 0,0005$:

     $$\Delta Z \approx \left| \cos(1,167) \right| \cdot (0,0005 + 0,0005) \approx 0,4 \cdot 0,001 = 0,0004$$
3. Относительная погрешность:

   • Относительная погрешность:

     $$\delta Z = \frac{\Delta Z}{Z} \approx \frac{0,0004}{0,919} \approx 0,00044 \approx 0,044\%$$
4. Количество верных цифр:

   • Поскольку погрешность мала, можно считать, что в $Z = 0,919$ верны три значащие цифры.

Ответ:

• ( Z \approx 0,919 )

• Абсолютная погрешность: $\Delta Z \approx 0,0004$

• Относительная погрешность: $\delta Z \approx 0,044$

• Количество верных цифр: 3