Метод Эйлера

19.12.2024

Метод Эйлера — простейший численный метод решения ОДУ. Он основан на производной функции конечными разностями и использовании линейной аппроксимации для перехода к следующей точке.

Формула метода Эйлера:

$y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)$

где:

• $y_{n+1}$ — значение функции в следующей точке;

• $y_n$ — значение функции в текущей точке;

• $h$ — шаг интегрирования;

• $f(x_n, y_n)$ — значение производной функции в точке $(x_n, y_n)$.

Преимущества:

• Простота реализации.

Недостатки:

• Низкая точность;

• Неустойчивость при больших шагах интегрирования.

Усовершенствованный метод Эйлера (Метод Эйлера с пересчётом)

Этот метод улучшает точность базового метода Эйлера за счёт использования дополнительного пересчёта на каждом шаге.

Алгоритм:

1. Вычислить предварительное значение:

   $\tilde{y}_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)$

2. Уточнить значение:

   $y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \cdot \left[ f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, \tilde{y}_{n+1}) \right]$

Преимущества:

• Повышенная точность по сравнению с обычным методом Эйлера.

Недостатки:

• Требует дополнительных вычислений на каждом шаге.

Методы Рунге-Кутты

Методы Рунге-Кутты представляют собой семейство численных методов решения ОДУ, которые обеспечивают более высокую точность по сравнению с методом Эйлера. Наиболее распространённым является метод Рунге-Кутты четвёртого порядка (РК4).

Алгоритм метода Рунге-Кутты 4-го порядка:

1. Вычислить промежуточные значения:

   $$\begin{align*} k_1 &= f(x_n, y_n) \\ k_2 &= f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2} \cdot k_1\right) \\ k_3 &= f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2} \cdot k_2\right) \\ k_4 &= f\left(x_n + h, y_n + h \cdot k_3\right) \end{align*}$$
2. Обновить значение функции:

   $y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6} \cdot (k_1 + 2 \cdot k_2 + 2 \cdot k_3 + k_4)$

Преимущества:

• Высокая точность;

• Устойчивость при больших шагах интегрирования.

Недостатки:

• Более сложная реализация по сравнению с методом Эйлера;

• Требует большего количества вычислений на каждом шаге.

Сравнение методов

Метод	Порядок точности	Количество вычислений на шаге	Устойчивость при больших шагах
Метод Эйлера	1	1	Низкая
Усовершенствованный метод Эйлера	2	2	Средняя
Метод Рунге-Кутты 4-го порядка	4	4	Высокая

Рекомендации по выбору метода

• Метод Эйлера подходит для простых задач, где требуется быстрое и грубое приближение.

• Усовершенствованный метод Эйлера рекомендуется, когда нужна повышенная точность без значительного увеличения вычислительных затрат.

• Метод Рунге-Кутты 4-го порядка предпочтителен для задач, требующих высокой точности и устойчивости, особенно при больших шагах интегрирования.