Локализация корня уравнения

Для численного решения уравнений важно сначала локализовать корень — сузить интервал, в котором функция пересекает ось $x$. В этом процессе используется таблица значений функции и графический анализ, выполненные в Excel.

Видео урок

---

Шаг 1: Построение таблицы значений функции

Таблица значений создаётся для анализа поведения функции на разных интервалах. В столбце $A$указываются значения $x$ от $0$ до $50$ с шагом $0.1$. В столбце B для каждого значения $x$ рассчитывается значение функции $f(x)$.

Таблица значений

A (x)	B $f(x) = e^{-x} - \frac{1}{2}\sin^2x$
$0.0$	$f(0.0)$
$0.1$	$f(0.1)$
$0.2$	$f(0.2)$
$...$	$...$
$50.0$	$f(50.0)$

Таблица позволяет наблюдать, где функция меняет знак. Например, если в одной ячейке значение положительное, а в следующей отрицательное, можно предположить, что на этом интервале находится корень.

---

Шаг 2: Анализ изменения знака функции

На основе значений таблицы выявляется интервал, в котором функция меняет знак. Смена знака функции говорит о возможном пересечении оси ( x ), что указывает на наличие корня.

Пример анализа

По данным таблицы видно, что на интервале от 1 до 1.5 значения функции меняют знак:

• При ( x = 1 ) значение функции положительное.

• При ( x = 1.5 ) значение становится отрицательным.

Таким образом, корень предположительно расположен в интервале $[1, 1.5]$.

Проверка первой производной функции

Для подтверждения единственности корня на интервале также вычисляется первая производная функции на отрезке $[1, 1.5]$. Если производная не меняет знак, это указывает на отсутствие дополнительных корней в данном интервале.

---

Шаг 3: Построение графика функции

Для визуального подтверждения локализации корня строится график функции $f(x) = e^{-x} - \frac{1}{2}\sin^2x$. На графике видно пересечение функции с осью $x$ на отрезке от $1$ до $1.5$, что подтверждает наличие корня в этом интервале.

---

Итог

Используя таблицу значений и анализ изменения знака функции, был успешно определён интервал, в котором находится положительный корень уравнения. Проверка первой производной и графическое представление дополнительно подтверждают локализацию корня.