Вычисление абсолютной и относительной погрешностей

12.11.2024

Пример 1

Дано:

• Число $x = 0.00006$

• Приближение $\tilde{x} = 0.00005$

Решение

1. Абсолютная погрешность: $\Delta x = |x - \tilde{x}| = |0.00006 - 0.00005| = 0.00001$

2. Относительная погрешность: $\delta x = \frac{\Delta x}{|x|} = \frac{0.00001}{0.00006} \approx 0.1667 \text{ или } 16.67$

Ответ: Абсолютная погрешность $\Delta x = 0.00001$ Относительная погрешность $\delta x \approx 16.67$

---

Пример 2

Дано:

• Число $x = 984.6$

• Все цифры верные в строгом смысле

Решение

1. Абсолютная погрешность $предельная$:

   • Погрешность возникает за счёт последней значащей цифры (десятой). $\Delta x = \pm 0.1$

2. Относительная погрешность: $\delta x = \frac{\Delta x}{|x|} = \frac{0.1}{984.6} \approx 0.0001 \text{ или } 0.01$

Ответ: Предельная абсолютная погрешность $\Delta x = \pm 0.1$ Предельная относительная погрешность $\delta x \approx 0.01$

---

Пример 3

Дано:

• Число $x = 2.364$

• Все цифры верные в широком смысле

Решение

1. Абсолютная погрешность $предельная$:

   • Погрешность в пределах последней значащей цифры $тысячной$. $\Delta x = \pm 0.001$

2. Относительная погрешность: $\delta x = \frac{\Delta x}{|x|} = \frac{0.001}{2.364} \approx 0.00042 \text{ или } 0.042$

Ответ: Предельная абсолютная погрешность $\Delta x = \pm 0.001$ Предельная относительная погрешность $\delta x \approx 0.042$

---

Пример 4

Дано:

• Число $x = 1.1426$

• Требуется округлить до четырёх значащих цифр

Решение

1. Приближённое значение: Округлим $x$ до четырёх значащих цифр: $\tilde{x} = 1.143$

2. Абсолютная погрешность: $\Delta x = |x - \tilde{x}| = |1.1426 - 1.143| = 0.0004$

3. Относительная погрешность: $\delta x = \frac{\Delta x}{|x|} = \frac{0.0004}{1.1426} \approx 0.00035 \text{ или } 0.035$

Ответ: Абсолютная погрешность $\Delta x = 0.0004$ Относительная погрешность $\delta x \approx 0.035$

Вот оформление решений под задачи, записанные в Markdown:

---

Пример 5

Дано: число $x = 1.1426$.

Задача:

1. Округлить $x$ до трёх знаков после запятой.

2. Вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей.

3. Определить количество верных цифр погрешности в строгом смысле.

Решение:

1. Округляем $x$ до трёх знаков: $x_1 = 1.143$

2. Вычисление абсолютной погрешности: $\Delta x = |x - x_1| = |1.1426 - 1.143| = 0.0004$

3. Относительная погрешность: $\delta x = \frac{\Delta x}{|x|} \approx \frac{0.0004}{1.143} \approx 0.00035$

4. Количество верных цифр в строгом смысле: $4$ цифры.

---

Пример 6

Дано: числовое значение аргумента функции $f(x) = \cos(0.47)$, заданное цифрами, верными в строгом смысле.

Задача:

1. Найти абсолютную и относительную погрешности функции $f(x)$.

2. Определить количество верных цифр погрешности в строгом смысле.

Решение:

1. Вычисляем $f(x) = \cos(0.47)$: $f(0.47) \approx 0.8912$

2. Абсолютная погрешность (условно): $\Delta f = \text{погрешность аргумента} \times |f'(x)|$ (где $f'(x)$ — производная от $\cos(x)$ в точке $x = 0.47 )$.

3. Относительная погрешность: $\delta f = \frac{\Delta f}{|f(x)|}$

4. Количество верных цифр: сохраняем верные цифры и одну сомнительную.

---

Пример 7

Дано: $a = 12.34, \quad b = 14.3$ Формула для расчёта: $L = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{b + \ln(a)}$

Задача:

1. Вычислить значение $L$, используя метод строгого учёта границ абсолютных погрешностей после каждой операции.

2. Числа заданы цифрами, верными в строгом смысле.

Решение:

1. Находим значения $\sqrt{a}), (\sqrt{b}), (b + \ln(a)$.

2. Подставляем значения в формулу и вычисляем $L$.

3. Учитываем погрешности на каждом шаге для получения строгих границ.