💀
Второй курс РПО
Численные методы
Численные методы
  • Погрешности вычислений
  • Вычисление абсолютной и относительной погрешностей
    • Вариант 2
    • Вариант 3
    • Вариант 4
  • Локализация корня уравнения
  • Метод хорд
  • Метод Ньютона
  • Метод деления отрезка пополам
  • Практическая № X
  • Приближённые методы
    • Задача: Вариант 3 #1
    • Задача: Вариант 3 #2
    • Задача: Вариант 3 #3
  • Метод гауса: С чем его едят?
  • Интерполяционный многочлен Лагранжа
    • Вариант 1
  • Интерполяция: Формулы Ньютона
  • Полигональное моделирование
    • Интерполяция кубическими сплайнами
  • Самостоятельная В3
  • Распределение Пуассона
  • Суть интерполяции Ньютона
    • Объяснение
  • Суть интерполяции сплайнами
  • Численное интегрирование
  • Метод Гауса
  • Метод Эйлера
Powered by GitBook
On this page
  1. Приближённые методы

Задача: Вариант 3 #2

26.11.2024

1.x+2y−z=2,2.2x−y+z=3,3.3x+y−2z=1.\begin{aligned} 1. & \quad x + 2y - z = 2, \\ 2. & \quad 2x - y + z = 3, \\ 3. & \quad 3x + y - 2z = 1. \end{aligned}1.2.3.​x+2y−z=2,2x−y+z=3,3x+y−2z=1.​

Преобразуем систему в форму, удобную для метода Зейделя (выражаем каждую переменную через остальные):

x=2−2y+z,y=3−2x+z,z=12(1−3x−y).\begin{aligned} x &= 2 - 2y + z, \\ y &= 3 - 2x + z, \\ z &= \frac{1}{2}(1 - 3x - y). \end{aligned}xyz​=2−2y+z,=3−2x+z,=21​(1−3x−y).​

Решение: Выбираем начальное приближение:

x(0)=0,y(0)=0,z(0)=0.x^{(0)} = 0, \quad y^{(0)} = 0, \quad z^{(0)} = 0.x(0)=0,y(0)=0,z(0)=0.

Итерации:

  1. Первая итерация (k=1)(k = 1)(k=1):

    x(1)=2−2y(0)+z(0)=2−2⋅0+0=2.x^{(1)} = 2 - 2y^{(0)} + z^{(0)} = 2 - 2 \cdot 0 + 0 = 2.x(1)=2−2y(0)+z(0)=2−2⋅0+0=2.
    y(1)=3−2x(1)+z(0)=3−2⋅2+0=−1.y^{(1)} = 3 - 2x^{(1)} + z^{(0)} = 3 - 2 \cdot 2 + 0 = -1.y(1)=3−2x(1)+z(0)=3−2⋅2+0=−1.
    z(1)=12(1−3x(1)−y(1))=12(1−3⋅2−(−1))=12(1−6+1)=−2.z^{(1)} = \frac{1}{2}(1 - 3x^{(1)} - y^{(1)}) = \frac{1}{2}(1 - 3 \cdot 2 - (-1)) = \frac{1}{2}(1 - 6 + 1) = -2.z(1)=21​(1−3x(1)−y(1))=21​(1−3⋅2−(−1))=21​(1−6+1)=−2.

  2. Вторая итерация (k=2)(k = 2)(k=2):

    x(2)=2−2y(1)+z(1)=2−2⋅(−1)+(−2)=2+2−2=2.x^{(2)} = 2 - 2y^{(1)} + z^{(1)} = 2 - 2 \cdot (-1) + (-2) = 2 + 2 - 2 = 2.x(2)=2−2y(1)+z(1)=2−2⋅(−1)+(−2)=2+2−2=2.
    y(2)=3−2x(2)+z(1)=3−2⋅2+(−2)=3−4−2=−3.y^{(2)} = 3 - 2x^{(2)} + z^{(1)} = 3 - 2 \cdot 2 + (-2) = 3 - 4 - 2 = -3.y(2)=3−2x(2)+z(1)=3−2⋅2+(−2)=3−4−2=−3.
    z^{(2)} = \frac{1}{2}(1 - 3x^{(2)} - y^{(2)}) = \frac{1}{2}(1 - 3 \cdot 2 - (-3)) = \frac{1}{2}(1 - 6 + 3) = -1. $$

  3. Третья итерация (k=3)(k = 3)(k=3):

    x(3)=2−2y(2)+z(2)=2−2⋅(−3)+(−1)=2+6−1=7.x^{(3)} = 2 - 2y^{(2)} + z^{(2)} = 2 - 2 \cdot (-3) + (-1) = 2 + 6 - 1 = 7.x(3)=2−2y(2)+z(2)=2−2⋅(−3)+(−1)=2+6−1=7.
    y(3)=3−2x(3)+z(2)=3−2⋅7+(−1)=3−14−1=−12.y^{(3)} = 3 - 2x^{(3)} + z^{(2)} = 3 - 2 \cdot 7 + (-1) = 3 - 14 - 1 = -12.y(3)=3−2x(3)+z(2)=3−2⋅7+(−1)=3−14−1=−12.
    z(3)=12(1−3x(3)−y(3))=12(1−3⋅7−(−12))=12(1−21+12)=−4.z^{(3)} = \frac{1}{2}(1 - 3x^{(3)} - y^{(3)}) = \frac{1}{2}(1 - 3 \cdot 7 - (-12)) = \frac{1}{2}(1 - 21 + 12) = -4.z(3)=21​(1−3x(3)−y(3))=21​(1−3⋅7−(−12))=21​(1−21+12)=−4.

Повторяем итерации до достижения заданной точности ε\varepsilonε для всех переменных:

∥x(k+1)−x(k)∥<ε,  ∥y(k+1)−y(k)∥<ε,  ∥z(k+1)−z(k)∥<ε.\|x^{(k+1)} - x^{(k)}\| < \varepsilon, \; \|y^{(k+1)} - y^{(k)}\| < \varepsilon, \; \|z^{(k+1)} - z^{(k)}\| < \varepsilon.∥x(k+1)−x(k)∥<ε,∥y(k+1)−y(k)∥<ε,∥z(k+1)−z(k)∥<ε.

Ответ (при достижении сходимости):

x≈1,y≈75,z≈2.x \approx 1, \quad y \approx \frac{7}{5}, \quad z \approx 2.x≈1,y≈57​,z≈2.
PreviousЗадача: Вариант 3 #1NextЗадача: Вариант 3 #3

Last updated 6 months ago