Суть интерполяции сплайнами

10.12.2024

Интерполяция сплайнами предполагает представление функции в виде кусочно-гладких многочленов на каждом интервале $[x_i, x_{i+1}]$. Наиболее распространены кубические сплайны, которые обеспечивают непрерывность функции, её первой и второй производных.

---

Формулы для кубических сплайнов

1. Общий вид сплайна на интервале $[x_i, x_{i+1}]$:

   $$S_i(x) = a_i + b_i (x - x_i) + c_i (x - x_i)^2 + d_i (x - x_i)^3,$$

   где $S_i(x)$ — кубический многочлен, определённый на интервале $[x_i, x_{i+1}]$, а $a_i, b_i, c_i, d_i$ — коэффициенты.

2. Условия для определения коэффициентов:

   • Непрерывность функции:

     $$S_i(x_{i+1}) = S_{i+1}(x_{i+1}),$$

     что обеспечивает плавность соединения между интервалами.

   • Непрерывность первой производной:

     $$S_i'(x_{i+1}) = S_{i+1}'(x_{i+1}),$$

     чтобы границы интервалов не имели разрывов.

   • Непрерывность второй производной:

     $$S_i''(x_{i+1}) = S_{i+1}''(x_{i+1}),$$

     что делает кривую более гладкой.

3. Краевые условия:

   • Естественный сплайн: Вводится условие $S_0''(x_0) = S_{n-1}''(x_n) = 0$, чтобы концы сплайна не изгибались.

   • Другие типы условий: Например, заданы значения первой производной $S'(x_0)$ и $S'(x_n)$.

---

Система уравнений для коэффициентов

Для каждого интервала $[x_i, x_{i+1}]$:

1. Основное уравнение сплайна:

   $$S_i(x) = y_i + b_i (x - x_i) + c_i (x - x_i)^2 + d_i (x - x_i)^3,$$

   где ( y_i ) — значение функции в узле $x_i$.

2. Вторые производные в узлах $M_i = S_i''(x_i)$: Выражаются через соседние узлы:

   $$h_i (M_{i+1} - M_i) = 6 \left( \frac{y_{i+1} - y_i}{h_i} - \frac{y_i - y_{i-1}}{h_{i-1}} \right),$$

   где $h_i = x_{i+1} - x_i$.

3. Решение системы уравнений для $M_i$: Система уравнений трёхдиагональная, так как вторые производные зависят только от соседних узлов.

---

Формулы коэффициентов

После нахождения $M_i$, коэффициенты $a_i, b_i, c_i, d_i$ вычисляются:

1. Коэффициент $d_i$:

   $$d_i = \frac{M_{i+1} - M_i}{6 h_i}.$$
2. Коэффициент $c_i$:

   $$c_i = \frac{M_i}{2}.$$
3. Коэффициент $b_i$:

   $$b_i = \frac{y_{i+1} - y_i}{h_i} - \frac{h_i}{6} (M_{i+1} + 2M_i).$$
4. Коэффициент $a_i$:

   $$a_i = y_i.$$

---

Итог

Сплайновая интерполяция сводится к:

1. Построению трёхдиагональной системы для нахождения вторых производных $M_i$;

2. Вычислению коэффициентов $a_i, b_i, c_i, d_i$ для каждого интервала;

3. Составлению кусочно-заданной функции $S_i(x)$ на каждом интервале.