Метод Ньютона

13.11.2024

Метод Ньютона — это численный метод для нахождения корней уравнений. Он использует касательные линии и линеаризацию функции в окрестности предполагаемого корня, что позволяет приблизительно вычислить корень.

Основные идеи метода

Метод Ньютона использует разложение функции в ряд Тейлора и приближает корень уравнения, используя только первые два слагаемых этого разложения. Новое приближение вычисляется через текущую точку и значение функции в ней.

Формула метода Ньютона

Основная формула для нахождения следующего приближения корня:

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Где:

• $x_n$ — текущее приближение корня,

• $f(x_n)$ — значение функции в точке $x_n$,

• $f'(x_n)$ — значение производной функции в точке $x_n$.

Геометрическая интерпретация

Метод Ньютона можно представить как процесс нахождения точек пересечения касательных с осью $x$. Каждая касательная, проведенная через текущую точку, пересекает ось $x$ в новой точке, которая становится следующим приближением корня.

Пример работы метода

Задача: Найти корень уравнения

$f(x) = 5x^3 - 6x^2 - 7 = 0$

Шаги решения:

1. Выбор начальной точки: Предположим, что начальная точка $x_0 = 2$.

2. Применение формулы метода Ньютона: Для нахождения следующего приближения используем основную формулу:

   1. Вычисляем значение функции и ее производной в точке $x_0 = 2$:

      • $f(x_0) = 5(2)^3 - 6(2)^2 - 7 = 40 - 24 - 7 = 9$

      • $f'(x_0) = 15(2)^2 - 12(2) = 60 - 24 = 36$

   2. Подставляем значения в формулу для $x_1$: $x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 2 - \frac{9}{36} = 2 - 0.25 = 1.75$

3. Повторение итераций: Повторяем процесс с новым значением $x_1 = 1.75$.

   1. Вычисляем значение функции и ее производной в точке (x_1 = 1.75):

      • $f(x_1) = 5(1.75)^3 - 6(1.75)^2 - 7 = 5(5.359375) - 6(3.0625) - 7 = 26.796875 - 18.375 - 7 = 1.421875$

      • $f'(x_1) = 15(1.75)^2 - 12(1.75) = 15(3.0625) - 12(1.75) = 45.9375 - 21 = 24.9375$

   2. Подставляем в формулу для $x_2$: $x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 1.75 - \frac{1.421875}{24.9375} \approx 1.75 - 0.057$ $x_2 \approx 1.693$

4. Продолжаем итерации до достижения заданной точности.

Условия сходимости

Метод Ньютона сходится быстро, если начальная точка близка к настоящему корню. Однако возможны случаи, когда метод не сходится, например, если вторая производная функции меняет знак вблизи корня. Если вторая производная сохраняет знак, метод сходится.

Пример вычисления точности

Предположим, после нескольких итераций метод Ньютона дал следующие приближения:

• $x_1 = 0.451269$

• $x_2 = 0.454945$

Разность между этими значениями:

$|0.454945 - 0.451269| = 0.003676$

Если точность $\epsilon = 0.01$, то условие выполнено, и процесс можно завершить.

Проблемы метода

1. Сходимость: Метод может не сходиться, если вторая производная функции меняет знак.

2. Выбор начальной точки: Если начальная точка слишком далека от корня, метод может не сойтись.

3. Необходимость вычисления производных: Для применения метода нужно знать и уметь вычислять производную функции.

Заключение

Метод Ньютона является мощным инструментом для нахождения корней уравнений. Он быстро сходится, если правильно выбрана начальная точка, и если функция имеет определенные свойства. Тем не менее, метод требует осторожности при выборе начальной точки и учета особенностей функции.