Интерполяционный многочлен Лагранжа

03.12.2024

Что такое интерполяция?

Интерполяция — это метод нахождения значения функции $f(x)$, если известны её значения в нескольких точках.

Формула многочлена Лагранжа

Для $n+1$ известных точек $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$, интерполяционный многочлен имеет вид:

$P_n(x) = \sum_{i=0}^n y_i L_i(x)$,

где

$L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$.

Алгоритм применения

1. Составить таблицу известных значений $xx$ и $yy$.

2. Вычислить базисные полиномы $L_i(x)$.

3. Найти $P_n(x)$ как сумму произведений $y_i$ и соответствующих $L_i(x)$.

4. Подставить нужное xx для нахождения значения функции.

Погрешность интерполяции

Для оценки погрешности используется формула:

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x - x_i)$,

где $\xi \in [\min(x_i), \max(x_i)]$.

Пример

Для точек $(1, 1), (2, 4), (3, 9):$

1. $L_0(x) = \frac{(x - 2)(x - 3)}{(1 - 2)(1 - 3)}$.

2. $L_1(x) = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(2 - 1)(2 - 3)}$.

3. $L_2(x) = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(3 - 1)(3 - 2)}$.

4. $P_2(x) = 1 \cdot L_0(x) + 4 \cdot L_1(x) + 9 \cdot L_2(x)$.

Преимущества и недостатки

Плюсы:

• Простота реализации.

• Точное значение в заданных точках.

Минусы:

• Невысокая точность между точками.

• Высокая сложность для большого числа данных.