Интерполяция: Формулы Ньютона

03.12.2024

Интерполяция — это метод нахождения промежуточных значений функции $f(x)$, когда известны её значения в узловых точках. Для этого используется интерполяционный многочлен.

Интерполяционная формула Ньютона позволяет строить такие многочлены, используя таблицу конечных разностей, которая упрощает вычисления.

---

Таблица конечных разностей

Конечные разности вычисляются для значений функции в узловых точках $x_0, x_1, \ldots, x_m$, расположенных на равностоящей сетке с шагом $h$, где $x_k = kh$.

Примеры конечных разностей:

• Первая разность:

  $$\Delta y_k = f(x_{k+1}) - f(x_k)$$
• Вторая разность:

  $$\Delta^2 y_k = \Delta y_{k+1} - \Delta y_k$$
• Разности ( k )-го порядка:

  $$\Delta^k y_k = \Delta^{k-1} y_{k+1} - \Delta^{k-1} y_k$$

---

Первая интерполяционная формула Ньютона

Эта формула подходит для интерполирования вблизи начального узла $x_0$.

Вид многочлена

Многочлен $P_n(x)$ записывается так:

$$P_n(x) = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0)(x - x_1) + \ldots + a_n (x - x_0)(x - x_1)\ldots(x - x_{n-1}),$$

где коэффициенты $a_k$ определяются через конечные разности.

Вычисление коэффициентов

Коэффициенты $a_k$находятся по формулам:

• $a_0 = f(x_0)$,

• $a_1 = \frac{\Delta f(x_0)}{h}$,

• $a_2 = \frac{\Delta^2 f(x_0)}{2! h^2}$,

• $a_k = \frac{\Delta^k f(x_0)}{k! h^k}$.

Подставляя их, получаем:

$$P_n(x) = f(x_0) + \frac{\Delta f(x_0)}{h}(x - x_0) + \frac{\Delta^2 f(x_0)}{2! h^2}(x - x_0)(x - x_1) + \ldots$$

Упрощение через переменную $q$

Вводим переменную $q = \frac{x - x_0}{h}$. Тогда формула принимает вид:

$$P_n(x) = f(x_0) + q \Delta f(x_0) + \frac{q(q-1)}{2!} \Delta^2 f(x_0) + \ldots + \frac{q(q-1)\ldots(q-n+1)}{n!} \Delta^n f(x_0).$$

Эта форма удобна для интерполяции вперёд, когда ( x ) близко к $x_0$.

---

Вторая интерполяционная формула Ньютона

Для интерполирования вблизи последнего узла $x_n$ используется другая форма многочлена.

Вид многочлена

$$P_n(x) = b_0 + b_1 (x - x_n) + b_2 (x - x_n)(x - x_{n-1}) + \ldots,$$

где коэффициенты $b_k$вычисляются аналогично, но начиная с конца таблицы.

Упрощение через переменную $q$

Вводим переменную $q = \frac{x - x_n}{h}$. Тогда формула принимает вид:

$$P_n(x) = f(x_n) + q \nabla f(x_n) + \frac{q(q+1)}{2!} \nabla^2 f(x_n) + \ldots,$$

где $abla f(x_n)$ — конечные разности, определённые в обратном направлении.

Эта форма удобна для интерполяции назад, когда $x$ близко к $x_n$.

---

Связь с многочленом Лагранжа

Интерполяционные формулы Ньютона являются разновидностью многочлена Лагранжа. Остаточный член для первой формулы Ньютона:

$$R_n(x) = \frac{\Delta^{n+1} f(x_0)}{(n+1)! h^{n+1}} (x - x_0)(x - x_1)\ldots(x - x_n),$$

а для второй:

$$R_n(x) = \frac{\nabla^{n+1} f(x_n)}{(n+1)! h^{n+1}} (x - x_n)(x - x_{n-1})\ldots(x - x_0).$$

---

Примечания

1. Первая формула Ньютона удобна для интерполяции в начале таблицы.

2. Вторая формула Ньютона используется в конце таблицы.

3. Многочлен Ньютона позволяет точно аппроксимировать функцию, если значение $n$ достаточно велико и таблица конечных разностей содержит все необходимые данные.