Погрешности вычислений

05.11.2024

Численные методы решения задач часто сопровождаются погрешностями. Понимание источников этих погрешностей и их классификация — ключ к повышению точности результатов.

Источники погрешностей

1. Приблизительность модели Любая математическая модель — это только приближенное описание реального процесса, что вносит начальную погрешность.

2. Неточность исходных данных В большинстве случаев данные содержат ошибки, которые передаются в вычисления.

3. Приближенные методы решения Используемые методы не всегда точны, и это также влияет на результат.

4. Округления при вычислениях В процессе ввода данных, вычислений и вывода результатов на ЭВМ неизбежно происходят округления, которые добавляют погрешность.

Работа с приближенными числами

При работе с приближенными числами необходимо соблюдать ряд правил:

• Оценка точности Оценивайте точность результата, исходя из точности исходных данных.

• Выбор нужной точности исходных данных Определите необходимую точность, чтобы результат соответствовал заданным требованиям.

• Согласование точности различных данных Следите за тем, чтобы не проводить излишне точные вычисления там, где точность исходных данных недостаточна.

• Контроль промежуточных результатов Поддерживайте нужную точность на промежуточных этапах, чтобы упростить процесс и достичь требуемой точности итогового результата.

Запись и обозначение значащих цифр

Записывая приближенные числа, важно указывать степень их точности. Значащими цифрами считают все цифры от первой ненулевой слева. Например, в числе 0.03045 значащими являются цифры 3045. Значащие цифры также делятся на:

• Верные в широком смысле — погрешность не более единицы разряда.

• Верные в узком смысле — погрешность не превышает половины единицы разряда.

Классификация погрешностей

Существует несколько типов погрешностей численных решений, отличающихся по характеристикам и влиянию на результат. Однако, подробная классификация не была рассмотрена в этой лекции.