Приближённые методы

26.11.2024

1. Метод простых итераций

Метод простых итераций — это итерационный способ решения системы линейных уравнений. Мы преобразуем систему в такую форму, где каждое уравнение выражает одну переменную через другие, и затем используем итерации для нахождения решения.

Формула

Исходная система уравнений:

$$A \cdot x = b$$

Для метода простых итераций система преобразуется в вид:

$$x^{(k+1)} = G(x^{(k)})$$

где $G(x^{(k)})$ — итерационная матрица, а $x^{(k)}$ — текущее приближение.

Условия сходимости

Метод сходится, если выполнены условия для нормы матрицы $A$:

$$\|G\| < 1$$

Тогда метод будет приводить к точному решению.

Пример

Рассмотрим систему уравнений:

$$\begin{cases} 3x + y = 9 \\ x + 2y = 8 \end{cases}$$

Преобразуем систему в вид:

$$x = \frac{9 - y}{3}, \quad y = \frac{8 - x}{2}$$

Теперь можем использовать начальное приближение, например, $x^{(0)} = 2, y^{(0)} = 3$, и вычислять новые значения переменных.

Первая итерация

$$x^{(1)} = \frac{9 - 3}{3} = 2, \quad y^{(1)} = \frac{8 - 2}{2} = 3$$

Метод сходится после нескольких итераций, если начальное приближение близко к реальному решению.

2. Метод Зейделя

Метод Зейделя является модификацией метода простых итераций. Он улучшает точность, используя уже вычисленные значения переменных на текущем шаге для других переменных.

Формула

Для системы уравнений:

$$A \cdot x = b$$

Мы решаем систему по очереди для каждой переменной, используя уже вычисленные значения для других переменных:

$$x_i^{(k+1)} = \frac{b_i - \sum_{j \neq i} a_{ij} x_j^{(k)}}{a_{ii}}$$

где $i = 1, 2, ..., n$.

Пример

Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} 4x + y = 5 \\ x + 3y = 7 \end{cases}$$

Преобразуем систему в итерационные формулы:

$$x = \frac{5 - y}{4}, \quad y = \frac{7 - x}{3}$$

Начальное приближение: $x^{(0)} = 1        y^{(0)} = 1$.

Первая итерация:

$$x^{(1)} = \frac{5 - 1}{4} = 1, \quad y^{(1)} = \frac{7 - 1}{3} = 2$$

Вторая итерация:

$$x^{(2)} = \frac{5 - 2}{4} = 0.75, \quad y^{(2)} = \frac{7 - 0.75}{3} \approx 2.08$$

Процесс продолжается до тех пор, пока значения не стабилизируются.

3. Метод Гаусса

Метод Гаусса (или метод исключения Гаусса) применяется для решения системы линейных уравнений с помощью преобразования матрицы коэффициентов в верхнетреугольный вид. Затем решаем систему, начиная с последнего уравнения и двигаясь вверх.

Шаги решения

1. Прямой ход — приводим систему к верхнетреугольному виду.

2. Обратный ход — решаем систему, начиная с последнего уравнения.

Пример

Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ 4x + 5y - 2z = 2 \\ -2x + 5y + 3z = 3 \end{cases}$$

Шаг 1: Прямой ход — Приводим систему к верхнетреугольному виду.

1. Первое уравнение делим на 2:

$$x + 0.5y - 0.5z = 0.5$$

1. Используем первое уравнение, чтобы исключить $x$ из второго и третьего уравнений.

Во втором уравнении подставляем $x = 0.5 - 0.5y + 0.5z$:

$$4x + 5y - 2z = 2 \quad \Rightarrow \quad 4 \cdot (x + 0.5y - 0.5z) + 5y - 2z = 2$$

Решаем для $y$ и $z$, получаем обновлённую систему.

Шаг 2: Обратный ход — Решаем систему:

1. Начинаем с последнего уравнения.

2. Решаем для переменной $z$.

3. Затем подставляем найденное значение $z$ в другие уравнения и продолжаем решение.

Заключение

• Приближённые методы решения СЛАУ — это эффективные способы нахождения решений сложных систем.

• Метод простых итераций и метод Зейделя используются для итерационных решений, где важно получить приближённые значения.

• Метод Гаусса позволяет точно решать системы, преобразуя их в верхнетреугольную форму.

• Эти методы находят широкое применение в науке и инженерии, особенно в вычислительных задачах с большими системами линейных уравнений.