Задача: Вариант 3 #1

26.11.2024

Задание

$\begin{cases} x + 2y - z = 2, \ 2x - y + z = 3, \ 3x + y - 2z = 1. \end{cases}$

Решение

Метод Гаусса (путём приведения матрицы к ступенчатому виду):

Метод ГауссаWikipedia

1. Записываем матрицу:

$[12−1∣22−11∣331−2∣1].\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 2 \\ 2 & -1 & 1 & | & 3 \\ 3 & 1 & -2 & | & 1 \end{bmatrix}$.

1. Приводим первый элемент первой строки к 1 (он уже равен 1). Вычитаем из второй строки первую, умноженную на 2:

$R2=R2−2R1.R_2 = R_2 - 2R_1$.

Вычитаем из третьей строки первую, умноженную на 3:

$R3=R3−3R1.R_3 = R_3 - 3R_1$.

$[12−1∣20−53∣−10−51∣−5].\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 2 \\ 0 & -5 & 3 & | & -1 \\ 0 & -5 & 1 & | & -5 \end{bmatrix}$.

1. Приводим второй элемент второй строки к 1: Делим вторую строку на −5-5:

$R2=R2/−5.R_2 = R_2 / -5$.

$[12−1∣201−35∣150−51∣−5].\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 2 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{5} & | & \frac{1}{5} \\ 0 & -5 & 1 & | & -5 \end{bmatrix}$.

1. Приводим третий элемент второй строки к нулю: Добавляем к третьей строке вторую, умноженную на 5:

$R3=R3+5R2.R_3 = R_3 + 5R_2$.

$[12−1∣201−35∣1500−2∣−4].\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 2 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{5} & | & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & -2 & | & -4 \end{bmatrix}$.

1. Приводим третий элемент третьей строки к 1: Делим третью строку на −2-2:

$R3=R3/−2.R_3 = R_3 / -2$.

$[12−1∣201−35∣15001∣2].\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 2 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{5} & | & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix}$.

1. Поднимаемся вверх: Приводим третий элемент второй строки к нулю:

$R2=R2+35R3.R_2 = R_2 + \frac{3}{5}R_3$.

$[12−1∣2010∣75001∣2].\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{7}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix}$.

$R1=R1+R3.R_1 = R_1 + R_3$.

$R1=R1−2R2.R_1 = R_1 - 2R_2$.

$[100∣1010∣75001∣2].\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{7}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix}$.

Ответ

$x=1,y=75,z=2.x = 1, \quad y = \frac{7}{5}, \quad z = 2$.