Численное интегрирование

11.12.2024

Численное интегрирование позволяет приближённо вычислить значение определённого интеграла. Этот метод особенно полезен, когда аналитическое решение затруднено или невозможно.

Основные методы численного интегрирования

Метод прямоугольников

Метод прямоугольников разбивает область под кривой на прямоугольники.

$$\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^n f(x_i) \cdot \Delta x$$

• $f(x_i)$ — значение функции в середине $i$-го интервала.

• $\Delta x$ — ширина каждого интервала, вычисляемая как $\Delta x = \frac{b - a}{n}$.

Пример

Для функции $f(x) = x^2$ на интервале $[1, 2]$ с $n = 3$:

1. Разделим интервал на три равных участка: $\Delta x = 0.333$.

2. Найдём точки $x_1, x_2, x_3$: середины интервалов $[1, 1.333], [1.333, 1.667], [1.667, 2]$.

3. Подставим значения функции: $f(1.1665), f(1.5), f(1.8335)$ и вычислим сумму.

---

Метод трапеций

Этот метод аппроксимирует функцию линейными отрезками, заменяя области под кривой трапециями.

$$\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^n \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \cdot \Delta x$$

• Используется значение функции на концах каждого интервала.

Пример

Тот же интервал $[1, 2]$, но теперь используются точки $x_0, x_1, x_2, x_3$:

1. Вычисляем значения $f(x_0), f(x_1), \dots, f(x_3)$.

2. Применяем формулу трапеций для получения суммы.

---

Формулы Ньютона-Котеса

Этот метод основывается на аппроксимации функции полиномами.

Метод Симпсона (( n=2 ))

Формула для полиномов второй степени:

$$\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^n \frac{\Delta x}{6} \left[f(x_{i-1}) + 4f(x_{\text{ср}}) + f(x_i)\right]$$

• $f(x_{\text{ср}})$— значение функции в середине интервала.

• Используется параболическая аппроксимация.

---

Квадратуры Гаусса

Метод использует оптимально выбранные точки $x_i$ и веса $w_i$:

$$\int_{-1}^1 f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^n w_i \cdot f(x_i)$$

• $w_i$ — веса, определяемые для заданного числа точек $n$.

• $x_i$— корни полинома Лежандра степени $n$.

Пример

Для $n = 2$: используем таблицы весов и абсцисс для полиномов Лежандра.

---

Применение численного интегрирования

Численное интегрирование широко используется в решении задач, связанных с:

• Расчётом площадей и объёмов.

• Решением дифференциальных уравнений.

• Моделированием физических процессов.