Вариант 1

03.12.2024

Условие задачи

$n$	$x_i$	$y_i$
0	0.0	0.1
1	0.8	0.3
2	1.6	0.3

Требуется:

1. Вычислить значение функции в точке $x = 0.6$ с использованием интерполяционного многочлена Лагранжа.

2. Найти абсолютную и относительную погрешности.

---

Решение

Шаг 1: Формула многочлена Лагранжа

Используем:

$$P_n(x) = \sum_{i=0}^n y_i L_i(x),$$

где $L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$.

---

Шаг 2: Вычисление базисных полиномов

Для трёх точек $(n = 2)$:

• $L_0(x) = \frac{(x - 0.8)(x - 1.6)}{(0.0 - 0.8)(0.0 - 1.6)} = \frac{(x - 0.8)(x - 1.6)}{1.28},$

• $L_1(x) = \frac{(x - 0.0)(x - 1.6)}{(0.8 - 0.0)(0.8 - 1.6)} = \frac{(x - 0.0)(x - 1.6)}{-0.64},$

• $L_2(x) = \frac{(x - 0.0)(x - 0.8)}{(1.6 - 0.0)(1.6 - 0.8)} = \frac{(x - 0.0)(x - 0.8)}{1.28}.$

---

Шаг 3: Вычисление значения $P_2(0.6)$

Подставим $x = 0.6$:

1. $L_0(0.6) = \frac{(0.6 - 0.8)(0.6 - 1.6)}{1.28} = \frac{(-0.2)(-1.0)}{1.28} = \frac{0.2}{1.28} \approx 0.1563,$

2. $L_1(0.6) = \frac{(0.6 - 0.0)(0.6 - 1.6)}{-0.64} = \frac{(0.6)(-1.0)}{-0.64} = \frac{-0.6}{-0.64} \approx 0.9375,$

3. $L_2(0.6) = \frac{(0.6 - 0.0)(0.6 - 0.8)}{1.28} = \frac{(0.6)(-0.2)}{1.28} = \frac{-0.12}{1.28} \approx -0.0938.$

Теперь подставим $y_i$:

$$P_2(0.6) = 0.1 \cdot 0.1563 + 0.3 \cdot 0.9375 + 0.3 \cdot (-0.0938).$$

Выполним вычисления:

$$P_2(0.6) \approx 0.01563 + 0.28125 - 0.02813 = 0.26875.$$

---

Шаг 4: Абсолютная и относительная погрешности

Абсолютная погрешность

$$R_2(0.6) = \frac{f^{(3)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x - x_i),$$

где $f^{(3)}(\xi) \approx 0.2$, $(n+1)! = 6$.

$$R_2(0.6) = \frac{0.2}{6} \cdot (0.6 - 0.0)(0.6 - 0.8)(0.6 - 1.6).$$

Вычислим:

$$R_2(0.6) = \frac{0.2}{6} \cdot (0.6)(-0.2)(-1.0) = \frac{0.2}{6} \cdot 0.12 = 0.004.$$

Относительная погрешность

$$\text{Отн. погрешность} = \frac{R_2(0.6)}{P_2(0.6)} \cdot 100\%.$$

$$\text{Отн. погрешность} = \frac{0.004}{0.26875} \cdot 100\% \approx 1.49\%.$$

---

Ответ

1. Значение функции в точке $x = 0.6$:

$$P_2(0.6) \approx 0.26875.$$

1. Абсолютная погрешность:

$$R_2(0.6) \approx 0.004.$$

1. Относительная погрешность:

$$\approx 1.49\%.$$