Суть интерполяции Ньютона

10.12.2024

Интерполяционная формула Ньютона используется для нахождения многочлена, проходящего через заданные точки $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$. Многочлен строится по форме, удобной для пошагового добавления новых узлов.

Общая формула:

$$P_n(x) = y_0 + \sum_{k=1}^{n} \Delta^k y_0 \cdot \prod_{i=0}^{k-1} (x - x_i),$$

где $\Delta^k y_0$ — конечные разности (или разделённые разности), а $x_0, x_1, \ldots, x_n$ — узлы.

---

Построение формулы Ньютона

1. Исходные данные: Таблица узлов:

   $$\begin{array}{|c|c|} x & y \\ \hline x_0 & y_0 \\ x_1 & y_1 \\ \vdots & \vdots \\ x_n & y_n \\ \end{array}$$
2. Вычисление разделённых разностей: Для $k$-го порядка разности:

   $$\Delta^k y = \frac{\Delta^{k-1} y[x_1, \ldots, x_k] - \Delta^{k-1} y[x_0, \ldots, x_{k-1}]}{x_k - x_0}.$$
3. Построение интерполяционного многочлена: Подставляем значения разностей в формулу Ньютона.

---

Пример

Условие: Найти интерполяционный многочлен для узлов:

$$\begin{array}{|c|c|} x & y \\ \hline 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 4 & 7 \\ \end{array}$$

Шаг 1. Вычисляем разделённые разности:

$$\Delta^0 y = y_i \quad \text{(начальные значения)}.$$

$$\Delta^1 y[x_0, x_1] = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{3 - 2}{2 - 1} = 1.$$

$$\Delta^1 y[x_1, x_2] = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 3}{4 - 2} = 2.$$

$$\Delta^2 y[x_0, x_1, x_2] = \frac{\Delta^1 y[x_1, x_2] - \Delta^1 y[x_0, x_1]}{x_2 - x_0} = \frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3}.$$

Шаг 2. Формула Ньютона:

$$P_2(x) = y_0 + \Delta^1 y[x_0, x_1] \cdot (x - x_0) + \Delta^2 y[x_0, x_1, x_2] \cdot (x - x_0)(x - x_1).$$

Подставляем значения:

$$P_2(x) = 2 + 1 \cdot (x - 1) + \frac{1}{3} \cdot (x - 1)(x - 2).$$

Упрощаем:

$$P_2(x) = 2 + (x - 1) + \frac{1}{3} \cdot (x - 1)(x - 2).$$

$$P_2(x) = 2 + x - 1 + \frac{1}{3} \cdot (x^2 - 3x + 2).$$

$$P_2(x) = \frac{1}{3} x^2 - x + \frac{8}{3}.$$

---

Итог

Многочлен Ньютона второго порядка:

$$P_2(x) = \frac{1}{3} x^2 - x + \frac{8}{3}.$$