Метод Гауса

11.12.2024

Этапы метода

А) Приведение к пределам интегрирования $[-1, 1]$

Интеграл с произвольными пределами $[a, b]$ сводится к интегралу с пределами $[-1, 1]$ с использованием замены переменных.

Формула преобразования:

$$x = \frac{b - a}{2} \mu + \frac{b + a}{2}$$

где:

• $x$ — исходная переменная;

• $\mu$ — новая переменная, принимающая значения в диапазоне $[-1, 1]$.

При этом дифференциал $dx$ выражается как:

$$dx = \frac{b - a}{2} d\mu$$

Б) Приближённое вычисление интеграла

После преобразования интеграл вычисляется как сумма значений функции в специальных точках ($\mu_i$), умноженных на весовые коэффициенты ($A_i$):

$$\int_{-1}^{1} Y(\mu) \, d\mu \approx \sum_{i=1}^n A_i \cdot Y(\mu_i)$$

где:

• $\mu_i$ — корни полиномов Лежандра степени $n$;

• $A_i$ — веса, заранее рассчитанные для каждого $n$.

---

Пример преобразования пределов

Рассмотрим интеграл $\int_0^2 x^2 \, dx$.

1. Замена переменной:

   $$x = \frac{2 - 0}{2} \mu + \frac{2 + 0}{2} = \mu + 1$$

   Тогда:

   $$dx = \frac{2 - 0}{2} d\mu = d\mu$$
2. Подстановка в интеграл:

   $$\int_0^2 x^2 \, dx = \int_{-1}^{1} (\mu + 1)^2 \, d\mu$$

---

Таблица весов и точек ($n = 1, 2, 3, 4$)

$n$	$\mu_i$	$A_i$
1	$0$	$2$
2	$\pm 0.57735027$	$1$
3	$\pm 0.77459667, 0$	$0.5555556, 0.88888889$
4	$\pm 0.86113631, \pm 0.33998104$	$0.34785484, 0.65214516$

Симметрии:

• Значения $\mu_i$ симметричны относительно $0$.

• Коэффициенты $A_i$ одинаковы для точек с противоположными знаками ($\pm \mu_i$).

---

Пример вычисления методом Гаусса ($n = 3$)

Рассчитаем приближённо $\int_0^2 x^2 \, dx$ по трём точкам:

1. Подставляем $Y(\mu) = (\mu + 1)^2$ и используем таблицу ($n = 3$):

   • $\mu_1 = -0.77459667, \, \mu_2 = 0, \, \mu_3 = 0.77459667$;

   • $A_1 = A_3 = 0.5555556, \, A_2 = 0.88888889$.

2. Вычисляем значения $Y(\mu_i)$:

   $$Y(-0.77459667) = (-0.77459667 + 1)^2, \quad Y(0) = (0 + 1)^2, \quad Y(0.77459667) = (0.77459667 + 1)^2$$
3. Итоговая сумма:

   $$\int_0^2 x^2 \, dx \approx 0.5555556 \cdot (-0.77459667 + 1)^2 + 0.88888889 \cdot 1^2 + 0.5555556 \cdot (0.77459667 + 1)^2$$
4. Результат:

   $$\int_0^2 x^2 \, dx \approx 2.6666668$$

Точное значение

$$\int_0^2 x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \Big|_0^2 = \frac{8}{3} = 2.6666667$$

---

Метод Гаусса даёт высокую точность даже при малом числе узлов ($n$), благодаря выбору оптимальных точек и весов.