Метод хорд

13.11.2024

Метод хорд (или секущих) позволяет уточнить корень уравнения, последовательно приближаясь к точному значению. Этот метод полезен в случае, когда известен интервал, содержащий корень, и его приближение можно уточнить за несколько шагов.

---

1. Введение в метод хорд

Метод хорд заключается в последовательном пересечении хордами графика функции на заданном интервале. Алгоритм вычисляет новый конец отрезка, приближаясь к корню:

Формула метода

$b_{n+1} = b_n - \frac{a - b}{f'(a) - f'(b)} \cdot f'(b)$

• $a$ — неподвижный конец отрезка.

• $b$ — конец отрезка, который постепенно приближается к корню.

Убедитесь, что функции $f(a)$ и $f(b)$ имеют разные знаки на концах отрезка — это поможет избежать ложных решений.

---

2. Выбор концов отрезка

Для метода хорд важен правильный выбор концов отрезка $a$ и $b$, чтобы метод сходился к корню:

• Точка $a$: выбирается так, чтобы знак функции и знак второй производной были одинаковы.

• Точка $b$: выбирается так, чтобы знаки функции и второй производной отличались.

Этот выбор позволяет построить хорд таким образом, чтобы алгоритм уверенно приближался к корню.

---

3. Пример уравнения

Рассмотрим уравнение: $f(x) = e^x - \frac{1}{2}\sin^2x = 0$

Для поиска корня этого уравнения определён интервал от $1$ до $1.5$. Знаки функций и производных указывают, что корень вероятнее всего расположен на этом участке. Первая производная функции отрицательна на всём интервале, что также упрощает выбор метода.

Метод хорд сходится быстрее, если значение производной не меняет знак на выбранном интервале.

---

4. Вторая производная

Значение второй производной: $f''(x) = e^x - \cos(2x)$ Вторая производная сохраняет знак на отрезке $[1, 1.5]$, что дополнительно подтверждает корректность интервала для применения метода хорд.

---

5. Выбор значений ( a ) и ( b ) для метода хорд

• $a = 1$ : функция положительна, вторая производная положительна.

• $b = 1.5$ : функция отрицательна, вторая производная положительна.

Эти условия для $a$ и $b$ соответствуют требованиям метода хорд, что позволяет начать вычисления с этими значениями.

---

6. Расчёты в Excel

Для выполнения вычислений удобно использовать таблицу Excel со следующими столбцами:

a	b	f'(a)	f'(b)	d
1.0	1.5	значение	значение

• Формула для вычисления $f'(b)$: используется значение производной в точке $b$, умноженное на $b$.

• Формула метода хорд: $b = b - \frac{a - b}{f'(a) - f'(b)} \cdot f'(b) \cdot b$

---

7. Вычисление значений и приближение к корню

На каждом шаге вычисляется новое значение $b$, и проверяется разность двух последовательных значений $b$ для оценки точности.

• На пятом шаге метод достигает требуемой точности $0.001$.

• Итоговое значение корня: $1.170000 \pm 0.001000$.

---

Заключение

Метод хорд показал себя эффективным, достигнув точности $0.001$ за три шага.