# Численное интегрирование

Численное интегрирование позволяет приближённо вычислить значение определённого интеграла. Этот метод особенно полезен, когда аналитическое решение затруднено или невозможно.

### Основные методы численного интегрирования

#### Метод прямоугольников

Метод прямоугольников разбивает область под кривой на прямоугольники.

$$
\int\_a^b f(x) , dx \approx \sum\_{i=1}^n f(x\_i) \cdot \Delta x
$$

* $$f(x\_i)$$ — значение функции в середине $$i$$-го интервала.
* $$\Delta x$$ — ширина каждого интервала, вычисляемая как $$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$.

**Пример**

Для функции $$f(x) = x^2$$ на интервале $$\[1, 2]$$ с $$n = 3$$:

1. Разделим интервал на три равных участка: $$\Delta x = 0.333$$.
2. Найдём точки $$x\_1, x\_2, x\_3$$: середины интервалов $$\[1, 1.333], \[1.333, 1.667], \[1.667, 2]$$.
3. Подставим значения функции: $$f(1.1665), f(1.5), f(1.8335)$$ и вычислим сумму.

***

#### Метод трапеций

Этот метод аппроксимирует функцию линейными отрезками, заменяя области под кривой трапециями.

$$
\int\_a^b f(x) , dx \approx \sum\_{i=1}^n \frac{f(x\_{i-1}) + f(x\_i)}{2} \cdot \Delta x
$$

* Используется значение функции на концах каждого интервала.

**Пример**

Тот же интервал $$\[1, 2]$$, но теперь используются точки $$x\_0, x\_1, x\_2, x\_3$$:

1. Вычисляем значения $$f(x\_0), f(x\_1), \dots, f(x\_3)$$.
2. Применяем формулу трапеций для получения суммы.

***

#### Формулы Ньютона-Котеса

Этот метод основывается на аппроксимации функции полиномами.

**Метод Симпсона (( n=2 ))**

Формула для полиномов второй степени:

$$
\int\_a^b f(x) , dx \approx \sum\_{i=1}^n \frac{\Delta x}{6} \left\[f(x\_{i-1}) + 4f(x\_{\text{ср}}) + f(x\_i)\right]
$$

* $$f(x\_{\text{ср}})$$— значение функции в середине интервала.
* Используется параболическая аппроксимация.

***

#### Квадратуры Гаусса

Метод использует оптимально выбранные точки $$x\_i$$ и веса $$w\_i$$:

$$
\int\_{-1}^1 f(x) , dx \approx \sum\_{i=1}^n w\_i \cdot f(x\_i)
$$

* $$w\_i$$ — веса, определяемые для заданного числа точек $$n$$.
* $$x\_i$$— корни полинома Лежандра степени $$n$$.

**Пример**

Для $$n = 2$$: используем таблицы весов и абсцисс для полиномов Лежандра.

***

### Применение численного интегрирования

Численное интегрирование широко используется в решении задач, связанных с:

* Расчётом площадей и объёмов.
* Решением дифференциальных уравнений.
* Моделированием физических процессов.

{% embed url="<https://courses.igankevich.com/numerical-methods/videos/07-numerical-integration.webm>" %}
